稳定同调论中Operad的Bar-Cobar对偶

我们将Getzler和Jones为链复形operad定义的bar-cobar对偶推广到稳定同调论意义下的谱operad。我们的主要结果是：在约化谱operad范畴（具有投射模型结构）与谱cooperad同伦论的一个新模型之间存在Quillen等价。关键构造是在operad P的Boardman-Vogt W-构造与P的cobar-bar构造之间建立弱等价。该弱等价推广了Berger和Moerdijk的一个定理，该定理指出对于链复形operad，W-构造与cobar-bar构造是同构的。我们基于“预cooperad”建立了cooperad的同伦论模型。这些预cooperad可视为结构映射为满足相干条件的谱映射之之字形的cooperad。我们在预cooperad上的模型结构使得每个对象都弱等价于一个实际cooperad，且cooperad之间的弱等价由底层的对称序列检测。我们还从谱operad的“导出Koszul对偶”角度解释我们的结果，这类似于Ginzburg-Kapranov的dg对偶。我们证明（在某些有限性假设下）operad P的“双重导出Koszul对偶”等价于P，并且导出Koszul构造保持operad的同伦余极限、有限同伦极限和导出映射空间。