$B(H)$-交换子：历史综述 II 及紧算子交换子的最新进展

作为 \cite{gW05} 的续篇，我们再次探讨 Pearcy 和 Topping 提出的单交换子问题 \cite{PT71}：是否每个紧算子都是紧算子的单交换子？我们聚焦于最后一位作者及其他人在 1976 年提出的一个有着 35 年历史的测试问题：是否存在任何严格正算子是紧算子的单交换子？我们在此通过对 Anderson 的基础构造 \cite{jA77} 进行适度修改，肯定地解决了后者，该构造构建了其交换子为秩一投影的紧算子。此外，我们提供了一类丰富的此类作为紧算子交换子的严格正算子，并提出了剩余的问题。我们还解释了这些方法如何与阶梯矩阵形式及其等价的块三对角形式以及交换子问题的研究相关联。特别是，我们展示了导致 Pearcy-Topping 问题（关于是否每个迹类迹零算子都是 Hilbert-Schmidt 算子的交换子或交换子的线性组合）否定解的原始测试问题及其解答。我们展示了这一结果如何从阶梯形式考量以及 Larry Brown 关于迹与理想连接的结果 \cite{lB94} 演变而来，而后者本身是 \cite[Section 7]{DFWW} 的核心。\cite{gW05} 中遗漏了这个重要的 35 年历史的测试问题，这是无意的，我们在本文中予以纠正。本续篇从 [ibid] 结束的地方开始，但也可以独立于 [ibid] 阅读。本文还包含一节关于某些经典算子李代数框架下的自交换子方程 $[X^*,X]=A$ 的内容。该问题由 Fan 和 Fong (1980) 针对紧算子的全代数解决，而我们在此针对紧算子的复辛李代数和复半单李代数解决了该问题。