线性保守系统随机扰动的平均化与混合

我们研究形如 $$dv(t)+Av(t)dt = \epsilon P(v(t))dt+\sqrt{\epsilon}B(v(t)) dW (t), v\in\mathbb{R}^{D}, (*)$$ 的线性系统的随机扰动，其中 $A$ 是具有非零虚谱的线性算子。假设向量场 $P(v)$ 与矩阵函数 $B(v)$ 在无穷远处至多多项式增长且局部 Lipschitz，方程适定，且解 $v(t)$ 范数的前几阶矩关于 $\epsilon$ 一致有界。我们利用 Khasminski 随机平均化方法证明，当 $\epsilon\to0$ 时，以算子 $A$ 的交互表示写出的解 $v(t)$，在 $0\le t \le Const\,\epsilon^{-1}$ 内依分布收敛于某个有效方程的解；该有效方程由 (*) 经某种平均化得到。在假设方程 (*) 和/或有效方程具有混合性的前提下，我们进一步考察该收敛性。