沿叶状 Lévy 扩散的平均化

本文研究了由取值于具有紧叶的光滑叶状流形的不连续 Lévy 过程驱动的随机微分方程（SDE）强解的动力学。假设该系统是叶状的，即其轨迹几乎必然在所有时间内停留在初始值所在的叶上。在假设每个叶具有generic 遍历性且遍历测度之间连续变化的条件下，我们确定了系统在受到量级为 $\e>0$ 且横向作用于叶的小平滑扰动下的有效行为。主要结果表明，平均而言，当 $\e$ 趋于零时，受扰动 SDE 的横向分量一致收敛于确定性常微分方程（ODE）的解。该横向 ODE 由扰动矢量场关于未扰动系统在叶上的不变测度的平均值生成，并随叶的横向高度而变化。我们给出了收敛速率的上界，并以圆上的随机旋转为例说明了这些结果。本文补充了 Gargate 和 Ruffino 关于 Stratonovich 型 SDE 的结果，将其推广至一般的 Marcus 型 Lévy 驱动 SDE（针对纯跳跃 Lévy 过程证明了相关结论）。