GKM图的自同构与正则半单Hessenberg簇

正则半单Hessenberg簇 $\mathrm{Hess}(S,h)$ 是全旗簇 $\mathrm{Fl}(\mathbb{C}^n)$ 的一个光滑子簇，与一个 $n$ 阶正则半单矩阵 $S$ 以及一个满足特定条件的函数 $h: \{1,2,\dots,n\} \to \{1,2,\dots,n\}$ 相关联。我们证明，当 $\mathrm{Hess}(S,h)$ 连通且不是整个空间 $\mathrm{Fl}(\mathbb{C}^n)$ 时，其自同构群 $\mathrm{Aut}(\mathrm{Hess}(S,h))$ 的单位分支 $\mathrm{Aut}^0(\mathrm{Hess}(S,h))$ 的约化部分是一个维数为 $n-1$ 的代数环面，且 $\mathrm{Aut}(\mathrm{Hess}(S,h))/\mathrm{Aut}^0(\mathrm{Hess}(S,h))$ 同构于 $\mathfrak{S}_n$ 或 $\mathfrak{S}_n\rtimes \{\pm 1\}$ 的一个子群，其中 $\mathfrak{S}_n$ 是 $n$ 次对称群。作为我们论证的一个副产品，我们证明对于任何射影GKM流形 $X$，$\mathrm{Aut}(X)/\mathrm{Aut}^0(X)$ 是一个有限群。