扭群代数的量子自同构与自由超几何律

我们证明，对任意有限群 $G$ 及 $G$ 上的任意 2-上循环 $\sigma$，存在型 $A_{aut}(\mathbb C_\sigma[G])\simeq A_{aut}(\mathbb C[G])^\sigma$ 的同构。在特例 $G=\mathbb Z_n^2$ 中，这导致了 $A_o(n)$ 中由变量 $u_{ij}^2$ 生成的子代数与 $A_s(n^2)$ 中由变量 $X_{ij}=\sum_{a,b=1}^np_{ia,jb}$ 生成的子代数之间的 Haar 测度保持等同。由于 $u_{ij}$ 是“自由超球面”的，而 $X_{ij}$ 是“自由超几何”的，我们由此得到一个新的自由概率公式，其在 $n=\infty$ 时对应于半圆律与自由泊松律之间的熟知关系。