$\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2$ 非交换形变的自同构与理想

设 $O_\tau(\Gamma)$ 为一族对 $\mathbb{C}^2 / \Gamma$ 坐标环进行量子化的代数，其中 $\Gamma$ 是 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的有限子群，并设 $G_{\Gamma}$ 为 $O_\tau$ 的自同构群。我们研究 $G_\Gamma$ 在 $O_\tau$ 的右理想空间（等价地，有限生成秩 $1$ 投射 $O_\tau$-模）上的自然作用。已知后者可等同于代数（箭图）簇的不交并，且该等同是 $G_\Gamma$-等变的。在本文中，当 $\Gamma \cong \mathbb{Z}_2$ 时，我们证明 $G_{\Gamma}$ 在每个箭图簇上的作用是传递的。我们还证明 $G_\Gamma$ 到 $O_\tau$ 的 Picard 群 $\mathrm{Pic}(O_\tau)$ 的自然嵌入是一个同构。这些结果用于证明存在可数多个 Morita 等价于 $O_\tau$ 的非同构代数，并给出了这些代数的显式表示。由于代数 $O_\tau(\mathbb{Z}_2)$ 同构于 $U(sl_2)$ 的本原因子，我们获得了 Morita 等价于本原因子的代数的完整刻画。此外还研究了当 $\Gamma$ 为任意循环群时群 $G_{\Gamma}$ 的结构。我们的结果推广了先前关于（第一）Weyl 代数 $A_1$ 所得的结果。