Irksome 中基于 Runge-Kutta-Nystr"om 时间步进的有限元方法自动化
数值分析
2025-08-29 v1 数值分析
摘要
Irksome 是一个基于统一形式语言（UFL）的库，用于自动化偏微分方程（PDE）的有限元空间离散化的 Runge-Kutta 时间步进方法。本文描述了最新更新的Irksome，允许用户表达包含二阶时间导数的最不平滑（semidiscrete）PDE形式，从而为每个时间步生成阶段耦合的变分问题。Firedrake then 为这些变分问题生成代码，并提供丰富的接口来求解它们。直接使用 Runge-Kutta-Nystr"om 方法对二阶时间导数进行离散化相对于使用标准 Runge-Kutta 方法对重写的 first-order 系统进行离散化具有多个优势。除了使界面更接近 UFL 中的问题表述外，避免这些辅助变量意味着 Runge-Kutta-Nystr"om 方法导致更小的代数系统和更好的运行时性能。我们的numerical results表明，在有效 preconditioning下，完全隐式 Runge-Kutta-Nystr"om 方法对于波动方程可以与更传统的显式方法竞争。它们也是离散化具有更高阶空间导数的波类型方程所必需。我们还提供了用于完全动态多孔弹性（即包含混合时间阶数系统）的数值实验，表明我们的 time-stepping 和 algebraic 求解器即使在接近不可压缩极限时也表现有效。
引用
@article{arxiv.2508.20255,
title = {Automated Runge-Kutta-Nystr\"om time stepping for finite element methods in Irksome},
author = {Robert C. Kirby and Scott P. MacLachlan and Pablo D. Brubeck},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.20255},
year = {2025}
}