无限维自由序列集代数中的原子

A. Tarski 证明了当 $m\ge 1$ 为有限基数且 $\alpha$ 为任意序数时，$\mathrm{CA}_{\alpha}$（维度为 $\alpha$ 的圆柱代数的类）的 $m$ 生成自由代数恰好含有 $2^m$ 个零维原子。他猜想当 $\alpha$ 为无限时，不再有更多原子。该猜想至今既未被证实也未被否定。在本文中，我们证明了若将 $\mathrm{CA}_{\alpha}$ 替换为 $\mathrm{D}_{\alpha}$、$\mathrm{G}_{\alpha}$，则 Tarski 猜想成立，但 $m$ 生成的自由 $\mathrm{Crs}_{\alpha}$ 代数是无原子的。