Landau 方程解趋于粘性接触波的渐近性态

在本文中，我们关注具有物理上真实的库仑相互作用的 Landau 方程解趋于粘性接触波的大时间渐近性态。确切地说，对于空间一维情形下的相应柯西问题，我们构造了靠近一个局部麦克斯韦分布的唯一整体时间解，其流体量是流体力学意义下的粘性接触波，并且证明该解在大时间趋于此局部麦克斯韦分布。结果通过精细的能量估计证明，似乎是首个关于 Landau 方程接触波动力学稳定性的结果。证明的一个关键点在于引入一个新的时间-速度权函数，其包含形式为 $\exp (q(t)\langle \xi\rangle^2)$ 的指数因子，其中 $$q(t):=q_1-q_2\int_0^tq_3(s)\,ds,$$ 这里 $q_1$ 和 $q_2$ 是给定的正常数，且 $q_3(\cdot)$ 由解本身的能量耗散率定义。该权函数的时间导数能够诱导出一个额外的四次耗散项，用于处理由于库仑情形下线性化 Landau 算子的退化所引起的非线性估计中的大速度增长。注意在我们的问题中，接触波附近解的显式时间衰减不可得，但在上述权函数的关键使用下不再需要，这与文献 [11, 14] 中的情形不同。