指数 Lévy 过程及其波动率微笑的渐近性：综述与新结果

指数 Lévy 过程可用于建模各种金融变量（如汇率、股票价格等）的演化。人们已投入大量精力对以此类过程为标的资产的衍生品进行定价，并对其相应的隐含波动率曲面进行了详细分析。在非渐近区域内，期权价格由 Lewis-Lipton 公式描述，该公式允许将其表示为 Fourier 积分；这些价格可以平凡地用其隐含波动率表示。近期，对计算隐含波动率渐近极限的尝试已导出了短时、长时及两翼渐近的若干表达式。为了以所需的详细程度研究波动率曲面，本文使用外汇 (FX) 惯例并将隐含波动率描述为 Black-Scholes delta 的函数。令人惊讶的是，该惯例与代数几何中常用于奇点消解的方法密切相关。在此框架下，我们综述了相关文献，重新表述了有关隐含波动率渐近行为的若干已知事实，并提出了若干新结果。我们强调了分数阶微分在研究 tempered stable 指数 Lévy 过程中的作用，并推导了基于分数阶导数的审慎有限差分近似的新颖数值方法。我们还简要展示了如何扩展我们的结果以研究局部波动率和随机波动率模型的重要情形，当使用 Lewis-Lipton 公式时，这些模型与基于 Lévy 过程的模型之间的密切关系尤为清晰。我们的主要结论是，研究隐含波动率的渐近性质虽然在理论上令人兴奋，但并不总是具有实用价值，因为许多渐近表达式的有效域很小。