通过图拉普拉斯分析实现 $\mathrm{SU}(3)$ 中渐近最优的酉估计

酉估计是利用 $n$ 次对相应酉操作的查询来估计未知酉算符 $U\in\mathrm{SU}(d)$ 的任务，其精度由估计保真度来评估。我们通过基于有限元方法的图拉普拉斯分析，展示了三维酉估计的最优渐近保真度为 $F_\mathrm{est}(n,d=3) = 1-\frac{56\pi^2}{9n^2} + O(n^{-3})$。我们还给出了任意 $d$ 维酉估计的保真度下界 $F_\mathrm{est}(n,d) \geq 1- \frac{(d+1)(d-1)(3d-2)(3d-1)}{6n^2} + O(n^{-3})$，该下界在 $n$ 和 $d$ 方面达到了已知最佳下界和紧标度。该下界基于 [J. Kahn, Phys. Rev. A 75, 022326, 2007] 中展示的酉估计协议推导得出。