直线上欧氏指派问题的最优匹配数

我们考虑维度 $d=1$ 且具有线性代价函数的随机欧氏指派问题。在该问题的一般版本中，基态存在很大的简并度，即存在许多不同的最优匹配（在规模 $N$ 下约为 $\sim \exp(S_N)$）。我们刻画了给定问题实例的所有可能最优匹配，并给出了其数量的简单乘积公式。随后，我们在均匀随机系综中研究了 $S_N$（模型的零温熵）的概率分布。我们发现，对于大 $N$，有 $S_N \sim \frac{1}{2} N \log N + N s + \mathcal{O}\left( \log N \right)$，其中 $s$ 是一个分布 $p(s)$ 不依赖于 $N$ 的随机变量。我们从布朗过程表述以及通过关联于 $S_N$ 的母函数的奇点分析，给出了 $p(s)$ 矩的渐近表达式。后一种方法提供了一个组合框架，使得能够计算均值与方差在 $1/N$ 中任意阶的渐近展开。