基于混沌分解的离散 Schrödinger 桥的渐近性

考虑在 $\mathbb{R}^d$ 中将来自两个分布 $P$ 和 $Q$ 的两个大小为 $N$ 的独立 i.i.d. 样本进行匹配的问题。对于任意连续代价函数，最优分配问题寻找使总代价最小的匹配。本文转而考虑如下问题：为每个匹配赋予一个 Gibbs 概率权重，该权重与该匹配总代价的负指数成正比。将每个匹配视为具有 $N$ 个原子的联合分布，随后对上述 Gibbs 概率测度取凸组合。我们证明，当 $N\rightarrow \infty$ 时，由此得到的随机联合分布收敛于由 Föllmer 提出的一个变分问题的解，称为 Schrödinger 问题。我们还推导了阶数分别为 $N^{-1/2}$ 和 $N^{-1}$ 的前两个误差项。这给出了积分测试函数的中心极限定理（包括传输代价），以及在极限高斯方差为零时的二阶高斯混沌极限。证明基于离散 Schrödinger 桥的一个新颖混沌分解，该分解以经验分布对的 polynomial 函数作为测度空间中的一阶和二阶 Taylor 逼近。这是通过将经典 U-统计量理论中的 Hoeffding 分解加以扩展来实现的。