高斯混合端点的提升 Schrödinger 桥梁：投影间隙与路径空间阻挡

我们研究了在布朗运动先验动力学下的高斯混合端点分布之间的随机密度控制问题。由于直接的高斯混合 Schrödinger 桥 generally 无法以闭式形式获得，我们引入了一种路径空间提升构造，其中每条轨迹都被增添了一个源-目标组件标签。因此，问题分解为具有显式边际、漂移和代价公式的高斯成分到成分 Schrödinger 桥梁，而混合级别的分配则归约为具有 Sinkhorn 缩放形式的有限维熵耦合问题。我们随后分析通过丢弃或忘记标签所得到的投影。按照构造方式，投影分布满足原始的高斯混合端点约束，但其相对熵通常与提升后的相对熵之间存在一个非负的条件标签信息间隙。这个间隙揭示了路径空间的阻挡：提升优化器在投影后，一般无法被识别为直接的无标签 Schrödinger 桥梁。我们还推导了与投影边际流相关的后验平均马尔可夫漂移，证明了动能上界，并识别了投影间隙消失的常见路径势能条件。记录了若干数值示例，展示了密度和形状控制，以便于自包含的阐述。