超阈值计数渐近条件分布：不同边缘下的脆弱性指数

设 $\bm X=(X_1,...,X_d)$ 为一个随机向量，其分量既不必独立，也无需具有相同的分布函数 $F_1,...,F_d$。记 $N_s$ 为 $X_1,...,X_d$ 中超过高阈值 $s$ 的个数。脆弱性指数定义为 $FI=\lim_{s\nearrow}E(N_s\mid N_s>0)$（若该极限存在），它度量了随机系统 $\bm X$ 随阈值增加时的渐近稳定性。若 $FI=1$，则系统称为稳定的，否则称为脆弱的。本文证明，如果 $\bm X$ 的copula函数属于多元极值分布的吸引域，并且对于 $1\le i\le d$ 及某个 $\kappa\in{1,...,d}$，极限 $\lim_{s\nearrow}(1-F_i(s))/(1-F_\kappa(s))=\gamma_i\in[0,\infty)$ 存在，则超阈值计数的渐近条件分布（ACDEC）$p_k=\lim_{s\nearrow}P(N_s=k\mid N_s>0)$（$1\le k\le d$）存在。这使得即使在 $\bm X$ 的分量非同分布的情况下，也能计算 $\bm X$ 对应的FI、扩展FI以及超阈值簇长度的渐近分布。