相场模型时间步进方法的渐近行为

在空间连续、半离散设定下，研究了 Allen Cahn 和 Cahn Hilliard 方程亚稳态动力学的自适应时间步进方法。我们分析了若干一阶和二阶方法的性能，形式化预测在亚稳态动力学中当小序参量 $\epsilon \rightarrow 0$ 极限下为满足指定局部截断误差 $\sigma$ 所需的步长。形式化预测基于包含保持扩散界面渐近结构（我们称之为轮廓保真度的概念）的稳定性假设。在此设定下，可以就时间步进方法的相对行为给出明确结论。某些方法，包括所有所谓的能量稳定方法以及一些全隐式方法，所需的时间步数渐近地多于其他方法。形式化分析在计算研究中得到证实。我们观察到文献中一些可证明能量稳定的方法比一些更标准的格式表现更差。我们进一步表明，当 Backward Euler 应用于亚稳态 Allen Cahn 动力学时，这些离散化的能量衰减和轮廓保真度性质在比先前分析所暗示的更大时间步下仍得以保持。结果在一般界面下渐近建立，并对径向界面给出严格证明。解析与计算均表明，对于大多数反应项，Eyre 型时间步进由于轮廓保真度丧失而渐近表现更差。