含噪投票者模型密度过程的渐近行为

给定由有限顶点集 $V$ 索引的转移矩阵 $P$，投票者模型是 $\{0,1\}^V$ 中的离散时间马尔可夫链，其中在每个时间步，随机选择的顶点 $x$ 以概率 $P(x,y)$ 模仿顶点 $y$ 的意见。含噪投票者模型是投票者模型的一种变体，其中顶点可能因外部噪声的作用而改变其意见。该噪声的强度由一个额外参数 $p \in [0,1]$ 度量。在本文中，我们分析密度过程，定义为具有意见 1 的顶点的平稳质量，即 $S_t = \sum_{x\in V} \pi(x)\xi_t(x)$，其中 $\pi$ 是 $P$ 的平稳分布，$\xi_t(x)$ 是顶点 $x$ 在时刻 $t$ 的意见。我们研究当 $t$ 趋于无穷时，对于噪声参数 $p$ 的不同取值下 $S_t$ 的渐近行为。特别地，通过允许 $P$ 和 $p$ 为大小 $|V|$ 的函数，我们表明在适当条件且 $p$ 足够小时，$S_t$ 的归一化版本收敛到高斯随机变量，而对于足够大的 $p$，$S_t$ 收敛到伯努利随机变量。我们进一步在包括完全图、环、环面与超立方体在内的多种特定图上分析了含噪投票者模型，并确定了分隔这两种渐近行为的临界速率 $p$（依赖于大小 $|V|$）。