相变中整体向量极小元自由界面的渐近行为

我们研究 Allen-Cahn 系统 globally bounded 整体极小元 $u:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$，其中势函数 $W\geq 0$，且 $\{W=0\}=\{a_1,...,a_N\}$，在 $u=a_i$ 附近有 $W(u)\sim |u-a_i|^\alpha$，$0<\alpha<2$。此类解在很大区域内恒等于势的某些零点 $a_i$。我们对扩散界面 $I_0:=\{x\in\mathbb{R}^n: \min_{1\leq i\leq N}|u(x)-a_i|>0\}$ 与自由边界 $\partial I_0$ 建立了估计 \begin{equation*} \mathcal{L}^n(I_0\cap B_r(x_0))\leq c_1r^{n-1},\quad \mathcal{H}^{n-1}(\partial^* I_0\cap B_r(x_0))\geq c_2r^{n-1}, \quad r\geq r_0(x_0) \end{equation*}。此外，若 $\alpha=1$，我们建立了上界 \begin{equation*} \mathcal{H}^{n-1}(\partial^* I_0\cap B_r(x_0))\leq c_3r^{n-1}, \quad r\geq r_0(x_0). \end{equation*}