CR Yamabe 方程奇异解问题的渐近方法
偏微分方程分析
2024-05-21 v2
摘要
我们通过证明 Brezis 与 Peletier 的一个著名猜想 \cite{BP89} 在 Heisenberg 框架下依然成立，来研究临界 Sobolev 嵌入缺乏紧致性所带来的某些影响：Sobolev 商的自然次临界逼近的最优函数将能量集中于恰好一点，该点是 Robin 函数（即所涉区域相关 Green 函数正则部分的对角线）的临界点，这与底层的次黎曼几何明显一致。由此，引入了一种关于其特征集附近几何正则域的新的合适定义。为获得上述结果，我们需要结合适当的估计与工具来攻克相关的 CR Yamabe 方程，并辅以 PDEs 与变分法中的新颖可行要素，这些要素也旨在构成 Heisenberg 框架下的通用独立结果，例如通过实现临界 Sobolev 不等式 \cite{JL88} 中等号的 Jerison 与 Lee 极值元对最优函数进行精细的渐近控制。
引用
@article{arxiv.2307.14933,
title = {Asymptotic approach to singular solutions for the CR Yamabe equation},
author = {Giampiero Palatucci and Mirco Piccinini},
journal= {arXiv preprint arXiv:2307.14933},
year = {2024}
}
备注
The most important addition in such a revision is the proof of the connection with the concentration point and the Robin function, in clear accordance with the analog in the Euclidean framework; see Thm. 1.2 at Page 5