重尾替代假设下高维均匀性检验的渐近分析

我们研究高维均匀性检验问题，即在给定 $p$ 维单位超球面上的 $n$ 个数据点时，检验其底层分布是否为均匀分布。尽管该问题在 $p$ 固定的情形下已被广泛研究，但在高维情形下仅知三种检验程序：Rayleigh 检验 \cite{Cutting-P-V}、Bingham 检验 \cite{Cutting-P-V2} 和 packing 检验 \cite{Jiang13}。现有研究大多集中于前两种检验，而 packing 检验的一致性仍悬而未决。我们证明，在涉及重尾分布投影的某些替代假设类别下，Rayleigh 检验渐近失效，而 Bingham 检验的渐近功效等同于随机猜测。相比之下，我们从理论上证明 packing 检验对此类替代假设具有强功效，并从经验上表明，由于极值统计量收敛缓慢的特性，其检验水平存在严重失真。通过利用这三种检验的渐近独立性，我们随后提出了一种基于 Fisher 组合技术的新检验，以融合各自优势。结果表明，新检验具备各单项检验的所有最优性质，且与 packing 检验不同，它能保持优异的第一类错误控制。