有限型簇代数的结合多面体与$\mathbf{g}$-向量间极小关系

我们证明网格突变是任一有限型簇代数中相对于任意初始种子的$\boldsymbol{g}$-向量之间的极小关系。随后我们利用这一代数结果推导$\boldsymbol{g}$-向量扇的几何性质：我们证明其所有多面体实现的集合是一个单纯锥，并注意到该性质意味着其所有实现均可描述为高位正象限与精心选取的仿射空间的交。这为N. Arkani-Hamed、Y. Bai、S. He和G. Yan在A型以及V. Bazier-Matte、G. Douville、K. Mousavand、H. Thomas和E. Yildirim关于无环初始种子的早期结果提供了新视角并作了推广。此外，我们用类似方法研究结合多面体另一推广——温和代数的非接吻复形（亦称支撑$\tau$-倾斜复形）的$\boldsymbol{g}$-向量扇的多面体实现空间。我们证明当温和有界箭图是砖且$2$-无环时，非接吻扇的实现空间是单纯的，并在该情形下用网格突变描述了其面定义不等式。在此过程中，我们证明了关于$2$-Calabi-Yau三角范畴和外三角范畴的代数结果，它们具有独立意义。特别地，我们在上述两种框架中证明了M. Auslander关于模范畴Grothendieck群极小关系结果的一个类比。