双尖图上的算术结构

有限连通图 $G$ 上的算术结构是一对具有正整数项的向量 $(\mathbf{d}, \mathbf{r})$，满足 $(\operatorname{diag}(\mathbf{d}) - A)\mathbf{r} = \mathbf{0}$，其中 $A$ 为 $G$ 的邻接矩阵，且 $\mathbf{r}$ 的各项无公因子。$G$ 上算术结构的临界群是 $(\operatorname{diag}(\mathbf{d}) - A)$ 余核的挠部分。本文研究双尖图上的算术结构及其临界群，双尖图是指一端带两个“尖刺”的路径构成的图。我们给出了确定具有 $n$ 个顶点的双尖图上算术结构数量的过程，并表明该数量随 $n$ 增大以与 Catalan 数相同的速率增长。我们还完整刻画了作为双尖图上算术结构临界群出现的群。