Stern多项式次数序列的算术性质及相关结果

设 $B_{n}(t)$ 为第 $n$ 个 Stern 多项式，并设 $e(n)=\op{deg}B_{n}(t)$ 为其次数。本文继续我们在 \cite{Ul} 中开始的关于 Stern 多项式序列及其次数序列 $\{e(n)\}_{n=1}^{\infty}$ 算术性质的研究。我们还研究了序列 $d(n)=\op{ord}_{t=0}B_{n}(t)$。除其他结果外，我们证明了 $d(n)=\nu(n)$，其中 $\nu(n)$ 是整除 $n$ 的 2 的最大幂次。我们还计算了区间 $[1,2^{n}]$ 内方程 $e(m)=i$ 和 $e(m)-d(m)=i$ 的解的个数。此外，我们得到了一个涉及 Stern 多项式的特定和的有趣闭式表达式。