可单位化群是否顺从？

我们对近期关于下述问题的一些结果给出新的表述：若离散群 $G$ 上所有一致有界表示都相似于酉表示，则该群是否顺从？在 §5 中，我们给出 Haagerup 定理的一个新证明：在非交换自由群上，存在不是一致有界表示系数的 Herz-Schur 乘子。我们实际上证明了这一结果的一个改进，涉及 Herz-Schur 乘子类的推广，即类 $M_d(G)$：它由所有满足如下条件的函数 $f\colon G\to {\bb C}$ 组成，即存在有界函数 $\xi_i\colon G\to B(H_i, H_{i-1})$（$H_i$ 为 Hilbert 空间），其中 $H_0 = {\bb C}$，$H_d ={\bb C}$，使得 $$f(t_1t_2... t_d) = \xi_1(t_1) \xi_2(t_2)... \xi_d(t_d).\qquad \forall t_i\in G$$ 我们证明，若 $G$ 为非交换自由群，则对任意 $d\ge 1$，有 $$M_d(G)\not= M_{d+1}(G),$$ 因而存在不属于一致有界表示系数的 $M_d(G)$ 中元素。在 $d=2$ 的情形，Haagerup 定理蕴含 $M_2(G)\not= M_{4}(G)$。