符号量子电路的结构与随机性质

参数化的随机单位(或正交)$n$比特电路在量子信息中发挥核心作用。因此，人们自然会认为实现符号变换的电路也会受到类似关注。然而，$\mathbb{SP}(d/2)$——由$d\times d$维酉符号矩阵组成的群——迄今为止尚未受到关注。本文旨在填补这一空白。我们首先提出了一组生成符$\mathcal{G}$用于符号代数$\mathfrak{sp}(d/2)$，包括作用于一维晶格相邻 sites 的一个-和两-比特Pauli算子。就我们发现的两个关键区别而言，这组算子与等效的单值和正交电路不同。即，我们发现$\mathcal{G}$中的算子无法生成任意局部符号单位，且其在翻译不变性方面也存在差异。随后，我们审查了符号群与Brauer代数之间的Schur-Weyl二义性，并利用Weingarten积分工具证明，Haar随机符号电路输出处的Pauli测量可收敛于高斯过程。作为副产品，这种分析为我们提供了在形成$\mathbb{SP}(d/2)$ $t$-designs的电路中进行Pauli测量的浓度界限。最后，我们提出了分析浅层随机符号电路的张量网络工具，并用这些工具数值表明，在对数深度下，计算基测量呈现反浓度现象。