Lovasz 扩展及其诱导相互作用指数的近似

伪布尔函数 $f : \{0,1\}^n \to R$ 的 Lovasz 扩展定义在 $[0,1]^n$ 标准三角剖分的每个单纯形上，作为在该单纯形的 $n+1$ 个顶点处插值 $f$ 的唯一仿射函数 $\hat f : [0,1]^n \to R$。其次数等于表达 $f$ 的唯一多重线性多项式的次数。在本文中，我们研究了用次数至多为指定值的 Lovasz 扩展对任意 Lovasz 扩展 $\hat f$ 进行最小二乘近似的问题。我们推导了这些近似的显式表达式。Hammer 和 Holzman (1992) 曾研究过伪布尔函数的相应近似问题，随后由 Grabisch, Marichal 和 Roubens (2000) 给出了显式解，从而产生了 Banzhaf 相互作用指数的另一种定义。类似地，我们从 $\hat f$ 的近似中引入了一种新的相互作用指数，并展示了其一些性质。结果表明，其对应的幂指数与 Grabisch 和 Labreuche (2001) 引入的幂指数一致。