关于有界变差连续函数的 Hahn 多项式展开

我们考虑在区间 $[-1,1]$ 上具有 $N+1$ 个节点的等距网格上著名的最小二乘法。我们研究以下问题：对于哪些比率 $N/n$ 以及哪些函数，最小二乘算子 ${LS}_n^N:\mathcal{C}\left[-1,1\right]\rightarrow\mathcal{P}_n$ 具有点态收敛性？为解决此问题，我们研究了 Jacobi 多项式 $P_k^{\alpha,\beta}$ 与 Hahn 多项式 $Q_k\left(\cdot;\alpha,\beta,N\right)$ 之间的关系。由此，我们通过函数的 Hahn 多项式展开来描述最小二乘算子 ${LS}_n^N$。特别地，我们给出以下结果：如果函数 $f$ 的 Jacobi 多项式 $P_k$ 展开级数 $\sum_{k=0}^n{\hat{f} P_k}$ 点态收敛，且当 $n,N\rightarrow\infty$ 时 ${n^4}/N\rightarrow 0$，则函数 $f$ 的 Hahn 多项式 $Q_k$ 展开级数 $\sum_{k=0}^n{\hat{f} Q_k}$ 点态收敛。此外，我们得到以下结果：设 $f\in\left\{g\in\mathcal{C}^1\left[-1,1\right]:g^\prime\in\mathcal{BV}\left[-1,1\right]\right\}$，并设 $(N_n)_{n}$ 为满足 ${n^4}/{N_n}\rightarrow 0$ 的自然数序列。则最小二乘法 ${LS}_n^{N_n}[f]$ 对每个 $x\in[-1,1]$ 均收敛。