Helmholtz 方程的一阶系统最小二乘法

我们提出了一种针对高波数 $k$ 的 Helmholtz 方程的一阶系统最小二乘 (FOSLS) 方法，该方法总是导出 Hermitian 正定代数系统。通过对偶 FOSLS 问题的非平凡解分解（这与标准有限元方法截然不同），我们对 FOSLS 方法的 $hp$ 版本进行了误差分析，明确给出了其对网格尺寸 $h$、逼近阶 $p$ 和波数 $k$ 的依赖性。特别是，在域边界的某些假设下，证明了在 $kh/p$ 足够小且多项式次数 $p$ 至少为 $O(\log k)$ 的条件下，来自 FOSLS 方法的标量解的 $L^2$ 范数误差估计是拟最优的。数值实验验证了理论结果。