基于亥姆霍兹分解求解双曲平衡律的最小二乘有限元法

本文提出并研究了一种用于标量非线性双曲平衡律的最小二乘有限元法。该方法基于利用通量向量的适当亥姆霍兹分解的公式，并与弱解的标准概念相关。我们详细描述了这一关系，以及其与负范数最小二乘的相应联系。由此获得了一个重要的数值守恒定理，类似于著名的Lax-Wendroff定理。本文方法的数值守恒性质并不完全落入Lax和Wendroff所引入的框架，但在精神上相似，因为它们保证当$L^2$收敛成立时，所得近似逼近双曲问题的弱解。最小二乘泛函在$H^{-1}$型范数下连续且强制，但在$L^2$下非强制。尽管如此，我们讨论了该方法的$L^2$收敛性质。收敛可通过泛函的显式正则化（提供对$L^2$范数的控制）获得，或通过恰当选取有限元空间（提供对$L^2$范数的隐式控制）获得。展示了具有不连续源项的无粘Burgers方程的数值结果，证明所得近似对物理可接受解的$L^2$收敛。数值方法利用最小二乘泛函在有限元空间上极小化，以及带嵌套迭代的Gauss-Newton技术。我们认为该公式所遇线性系统适于多重网格技术，且将方法与自适应网格加密结合可使此途径成为求解平衡律的高效工具（此为未来研究重点）。