$\mathbb{R}^d$空间中中位数机制的近似保证

坐标wise中位数是社会选择和设施定位场景中一种经典且最为人所熟知的策略证明机制。令人惊讶的是，关于其在d维空间中近似比率缺乏系统性研究。在d维欧几里得空间$\mathbb{L}_2(\mathbb{R}^d)$中已知的最佳近似保证为$\sqrt{d}$，通过将$\mathbb{L}_1(\mathbb{R}^d)$嵌入到$\mathbb{L}_2(\mathbb{R}^d)$度量空间实现，该结果仅出现在[Meir 2019]的附录中。该上界在维数d=2时已知是紧的，但目前尚无明确的常数下界。尽管如此，社区似乎认为坐标wise中位数的近似性能为$\Theta(\sqrt{d})$。例如，近期几篇关于带预测的机制设计论文[Agrawal, Balkanski, Gkatzelis, Ou, Tan 2022]，[Christodoulou, Sgouritsa, Vlachos 2024]，和[Barak, Gupta, Talgam-Cohen 2024]直接依赖于$\sqrt{d}$-近似结果。在本文中，我们系统性地研究了在任意$\mathbb{L}_q$范数（q∈[1,∞]）和任意维数d的$\mathbb{L}_q(\mathbb{R}^d)$空间中坐标中位数的近似效率。我们推导出一系列与维数d无关的常数上界UB(q)。该系列UB(q)随参数q的增大而增长，但永远不会超过常数UB(∞)=3。我们的数值上界UB(2)=\sqrt{6\sqrt{3}-8}<1.55适用于$\mathbb{L}_2$范数，仅略差于维数d=2时紧的近似保证$\sqrt{2}>1.41$。Furthermore，我们展示了我们的上界通过给出几乎匹配的下界LB(q,d)=UB(q)\cdot(1-O(1/d))对于任意维数d都几乎紧密。当d→∞时，LB(q,d)=UB(q)。我们还将分析扩展到[Agrawal, Balkanski, Gkatzelis, Ou, Tan 2022]中针对$\mathbb{L}_2(\mathbb{R}^2)$空间的广义中位数机制，以至于任意维数d，结果类似。