利用奇异解逼近通用 Teichmüller 空间上的 Weil-Petersson 度量测地线

我们提出并研究了一种数值打靶法，用于计算通用 Teichmüller 空间 T(1) 上 Weil-Petersson ($WP$) 度量下的测地线。该空间，或者更确切地说是陪集子空间 $\PSL_2(\R)\backslash\Diff(S^1)$，还有另一种实现形式，即模去平移和缩放后的光滑简单闭合平面曲线空间。T(1) 的这种替代识别为形状空间提供了一种便捷的度量方法，并为我们的算法在计算机视觉中的应用提供了直接途径。带有 $WP$ 度量的 T(1) 上的测地线方程是 EPDiff($S^1$)，即圆 $S^1$ 微分同胚群上的 Euler-Poincare 方程，它允许一类名为 Teichons 的类孤子解。我们的方法依赖于用这些 teichon 解来逼近测地线，这些解的动量由 delta 函数的有限线性组合给出。对于这一组更简单的解，其测地线方程在数值上更易处理。通过对该方程进行稳健的数值积分，我们 formulate 了一种利用交叉比匹配项的打靶法。文中展示了形状空间中测地线的几个示例。