近似稳定的委员会选择

在委员会选择问题中，给定 $m$ 个候选人和 $n$ 个投票人。候选人可以具有不同的权重。委员会是候选人的一个子集，其权重为其中候选人权重之和。每个投票人对所有可能委员会表达一个序偏好。我们对偏好所作的唯一假设是单调性：若 $S \subseteq S'$ 为两个委员会，则任一投票人弱偏好 $S'$ 于 $S$。我们通过稳定性研究一种一般的群体公平性概念：给定总权重 $K$ 的委员会是稳定的，如果没有投票人联盟能够偏离并选择一个成比例权重的委员会，使得所有这些投票人严格偏好新委员会于既有委员会。将该概念推广至近似情形，对参数 $c \ge 1$，权重 $K$ 的委员会 $S$ 称为 $c$-近似稳定的，如果对任意其他权重 $K'$ 的委员会 $S'$，严格偏好 $S'$ 于 $S$ 的投票人比例严格小于 $\frac{c K'}{K}$。当 $c = 1$ 时，该条件等价于经典核稳定性。我们提出的问题为：对常数 $c$，权重不超过任意给定值 $K$ 的 $c$-近似稳定委员会是否总存在？相对容易证明存在单调偏好使得 $c \ge 2$。然而，即便对简单且被广泛研究的偏好结构，关于 $c$ 的非平凡上界一直难以确定。本文证明对所有单调偏好结构均有 $c = O(1)$。我们的证明通过给出随机稳定性概念的存在性结果，并迭代舍入所得分数解来进行。