具有近正则度区间的图的近似抽样与计数

具有给定度序列的图的近似均匀抽样是理论计算机科学中一个广为人知且被广泛研究的问题，并具有重要的应用，例如在社交网络分析中。在本工作中，我们研究了该问题的一个扩展，其中指定的是度区间而非单一度序列。我们感兴趣的是对度序列满足度区间约束的图进行抽样和计数。出现该问题的一个自然场景是在仅部分观测的社交网络上进行假设检验。在本工作中，我们针对近正则度区间（其中每个节点 $i$ 的度数与给定 $d \in \N$ 相差不大的区间）的图，分别提供了首个完全多项式几乎均匀采样器 (FPAUS) 以及用于抽样和计数的首个完全多项式随机近似方案 (FPRAS)。为了设计我们的 FPAUS，我们依赖于 Markov 链理论和组合学中的各种先进工具。特别地，我们首次对 Liebenau 和 Wormald (2017) 关于具有给定近正则度序列的图数量的渐近公式的突破性结果进行了非平凡的算法应用。此外，我们还利用了 Anari 等人 (2019) 关于在强对数凹概率分布下对拟阵基进行抽样的最新突破。作为一种更直接的方法，我们还研究了 Rechner、Strowick 和 M"uller-Hannemann (2018) 最近引入的一种自然 Markov 链，该链基于三种简单的局部操作：Switch、hinge flip 以及单条边的添加/删除。我们通过证明该 Markov 链在大小至多为 1 的近正则度区间情况下是快速混合的，获得了该 Markov 链的首个理论结果。