合取查询的近似计数何时是可处理的？

合取查询是数据库系统中最常用的查询类别之一，也是文献中研究最深入的类别。Grohe、Schwentick 和 Segoufin 的一项开创性结果（STOC 2001）表明，对于每一类图 $G$，评估所有底层图属于 $G$ 的合取查询是可处理的，当且仅当 $G$ 具有有界树宽。在本工作中，我们将该刻画扩展到合取查询的计数问题。具体而言，对于每一类具有有界树宽的合取查询 $C$，我们引入了首个用于计数 $C$ 中查询答案的全多项式时间随机近似方案（FPRAS），以及首个从 $C$ 中查询均匀采样答案的多项式时间算法。作为推论，对于每一类图 $G$，底层图属于 $G$ 的合取查询的计数问题存在 FPRAS，当且仅当 $G$ 具有有界树宽（除非 $\text{BPP} \neq \text{P}$）。事实上，我们的 FPRAS 更为通用，也适用于具有有界超树宽的合取查询，以及此类查询的并。我们证明中的关键要素是解决了一个来自自动机理论的基本计数问题。具体而言，我们展示了首个针对树自动机接受的规模为 $n$ 的树集合的 FPRAS 和多项式时间采样器，这改进了 Gore、Jerrum、Kannan、Sweedyk 和 Mahaney '97 先前的拟多项式时间随机近似方案（QPRAS）和采样算法。我们展示了该算法如何用于获得许多迄今未解问题的 FPRAS，例如计数具有有界超树宽的约束满足问题（CSP）的解、计数具有嵌套调用子程序的程序中的错误线程数，以及计数结构化 DNNF 电路的有效赋值。