无界树宽图族上匹配上的加权计数

我们考虑任意固定图族$\mathcal{G}$上关于匹配的加权计数问题，记为$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$。输入由图$G\in \mathcal{G}$以及$G$每条边上存在的有理概率组成，并假设独立性。输出为在所得分布中获得$G$的一个匹配（即一组两两不交的边）的概率。已知若$\mathcal{G}$具有有界树宽，则$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$可在多项式时间内求解。本文在某些假设下证明，有界树宽事实上刻画了该问题的易处理图族。更确切地说，我们对满足如下树宽可构造性要求的所有图族$\mathcal{G}$证明了难处理性：给定一元表示的整数$k$，我们可在多项式时间内构造出树宽至少为$k$的图$G \in \mathcal{G}$。我们的困难性结果如下：对任意树宽可构造图族$\mathcal{G}$，问题$\textrm{PrMatching}(\mathcal{G})$是难处理的。这推广了在不限制树宽的一些约束（如平面、3-正则或二部）下加权匹配计数的已知困难性结果；也回答了Amarilli、Bourhis和Senellart（PODS'16）中遗留的一个问题。我们还得到了边覆盖加权计数的类似下界。