图容器在布尔格中的应用

我们应用图容器方法来证明布尔格 $\mathcal P(n)$ 的一些计数结果。具体而言，我们：(i) 对 Sapozhenko 关于估计 $\mathcal P(n)$ 中 $t$ 纠错码数量的问题给出部分回答，并且我们还给出了传输码数量的上界；(ii) 提供 Kleitman 关于 $\mathcal P(n)$ 中反链数量的定理的另一种证明，并给出双色类比；(iii) 给出 $\mathcal P(n)$ 中 $(p,q)$-倾斜施佩纳族数量的渐近公式；(iv) 证明 Katona 的 $t$-交集定理的随机版本。在每种情况下，为应用容器方法，我们首先证明相应的超饱和结果。我们还给出一个构造，推翻了 Ilinca 和 Kahn 关于布尔格中极大独立集和反链的两个猜想。文中也给出若干开放问题。