另一种新的可解金鱼型多体模型

本文识别出一个新的可解多体问题。其特征是非线性牛顿运动方程（“加速度等于力”），包含决定平面内任意数量 $N$ 个单位质量质点运动的“金鱼型”单体和双体速度依赖力。这些运动质点的 $N$ 个坐标在时间 $t$ 的 $N$ 个（通常为复数）值 $z_{n}(t)$，由一个显式已知的含时 $N\times N$ 矩阵 $U(t)$ 的 $N$ 个本征值给出，该矩阵用 2N 个初始数据 $z_{n}(0)$ 和 $\dot{z}_{n}(0)$ 表示。该模型有两种不同的变体，一种包含 3 个任意耦合常数，另一种仅包含 2 个；对于这些参数的特殊值，所有解都是完全周期的，且具有与初始数据无关的相同周期（“等时性”）；对于其他特殊参数值，该性质在 $t\rightarrow \infty$ 时指数衰减的修正下成立（“渐近等时性”）。本文还报告了这些模型的其他等时变体。此外，还展示了通过将因变量从 $N$ 次首一多项式的 $N$ 个零点更改为其 $N$ 个系数而获得的替代公式。概述了由部分结果隐含的一些数学发现（如某些多项式零点的丢番图性质），但其分析将留待另一篇论文进行。