希尔伯特空间中的角度与肖德尔基

设 $\mathcal{H}$ 为一个复可分希尔伯特空间。我们证明，若 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的一个肖德尔基（Schauder basis），则该基中任意两个向量之间的夹角必须具有正下界。进一步，我们考察 $\{z^{\sigma^{-1}(n)}\}_{n=1}^{\infty}$ 绝不可能成为 $L^{2}(\mathbb{T},\nu)$ 的肖德尔基，其中 $\mathbb{T}$ 为单位圆，$\nu$ 为有限正离散测度，$\sigma: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$ 为任意满射且单射的映射。