Ramsey-Turán 理论中的 Andrásfai 与 Vega 图

给定正整数 $n\ge s$，令 ${\mathrm{ex}}(n,s)$ 表示具有 $\alpha(G)\le s$ 的 $n$ 顶点无三角形图 $G$ 的最大边数。在六十年代初，Andrásfai 猜想对于 $n/3<s<n/2$，函数 ${\mathrm{ex}}(n, s)$ 是分段二次的，其临界值位于 $s/n={k}/({3k-1})$。我们确认当 $s/n$ 略大于临界值时情况确实如此，从而对所有满足 $s/n\in [{k}/({3k-1}), {k}/({3k-1})+\gamma_k]$ 的 $n$ 和 $s$ 确定了 ${\mathrm{ex}}(n,s)$，其中 $\gamma_k=\Theta(k^{-6})$。