带小边的量子图上椭圆算子预解式的解析性

我们考虑一个任意度量图，并向其上粘合另一个边长度正比于 $\varepsilon$ 的图，其中 $\varepsilon$ 是一个小正参数。在此类图上，我们考虑一个一般的自伴二阶微分算子 $\mathcal{H}_\varepsilon$，其系数可变并满足一般顶点条件；微分表达式与顶点条件中的所有系数均假定为 $\varepsilon$ 的解析函数。我们在一张通过对上述小边重新标度而得到的特定图上引入一个特殊算子，并假定其在本质谱阈值处无嵌入特征值。在此假设下，我们证明 $\mathcal{H}_\varepsilon$ 预解式的某些部分对 $\varepsilon$ 是解析的。这使得我们能用一致收敛的类泰勒级数表示 $\mathcal{H}_\varepsilon$ 的预解式，且其部分和可用于将预解式逼近到 $\varepsilon$ 的任意幂次。特别地，零阶逼近重现了 G. Berkolaiko、Yu. Latushkin、S. Sukhtaiev 以及 C. Cacciapuoti 近期的收敛结果，但我们额外证明微分表达式与顶点条件中系数的 $\varepsilon$-展开的首阶次项可贡献于极限算子，在与之相连的小边所入射的顶点处产生 Robin 部分。我们还讨论了模型的可能推广，包括图的小部分具有更一般几何的情形，以及微分表达式与顶点条件中系数具有非解析 $\varepsilon$-依赖的情形。