带不规则漂移项的随机热方程的解析弱解与温和解

考虑随机热方程 \begin{equation*} \partial_t u_t(x)=\frac12 \partial^2_{xx}u_t(x) +b(u_t(x))+\dot{W}_{t}(x),\quad t\in(0,T],\, x\in D, \end{equation*} 其中 $b$ 为广义函数，$D$ 为 $[0,1]$ 或 $\mathbb{R}$，$\dot W$ 为 $\mathbb{R}_+\times D$ 上的空间时间白噪声。若漂移项 $b$ 为足够光滑函数，则已知该方程的任何解析弱解也是解析温和解，反之亦然。我们将该结果推广至漂移项为广义函数的情况，并对温和解和弱解的概念进行适当的调整。作为本文结果的一个推论，我们表明对于 $b\in L_p(\mathbb{R})$，$p\ge1$，该方程具有唯一的解析弱解和温和解，从而扩展了 Gy"ongy 和 Pardoux (1993) 的经典结果。