二维演化Landau-Lifshitz-Gilbert方程的磁化控制问题分析

研究了二维有界域Ω上具有零Neumann边界数据的Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)方程 $m_t= m \times (\Delta m +u)- m \times (m \times (\Delta m +u)),\ (x,t) \in \Omega\times (0,T]$ 的磁化控制问题，其中控制能量u施加在有效场上。首先，我们证明了弱解的存在性，并且磁化向量场m满足能量不等式。如果弱解m满足$\nabla m\in L^4(0,T;L^4(\Omega))$的条件，那么我们证明它是一个正则解。通过加入$\nabla m$的$L^4(0,T;L^4(\Omega))$范数，修改了经典代价泛函，从而建立了最优控制问题的严格研究。然后，我们证明了最优控制的存在性，并使用伴随问题方法推导了一阶必要最优性条件。我们建立了控制-状态和控制-协态算子的连续依赖性和Fr\'echet可微性，并证明了它们Fr\'echet导数的Lipschitz连续性。利用这些假设，我们推导了当控制属于临界锥时的局部二阶充分最优性条件。最后，我们还得到了另一个仅用与控制问题相关的伴随状态表示的显著全局最优性条件。