随机Lanczos求积用于谱近似的分析

$n\times n$对称矩阵$\mathbf{A}$的累积经验谱测度（CESM）$\Phi[\mathbf{A}] : \mathbb{R} \to [0,1]$定义为$\mathbf{A}$的特征值小于给定阈值的占比，即$\Phi[\mathbf{A}](x) := \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} {\large\unicode{x1D7D9}}[ \lambda_i[\mathbf{A}]\leq x]$。谱和$\operatorname{tr}(f[\mathbf{A}])$可计算为$f$关于$\Phi[\mathbf{A}]$的Riemann--Stieltjes积分，因此估计CESM的任务在包括机器学习在内的许多应用中频繁出现。我们对随机Lanczos求积（SLQ）给出了误差分析。我们证明，通过对从单位球上独立均匀采样的$\lceil 4 ( n+2 )^{-1}t^{-2} \ln(2n\eta^{-1}) \rceil$个向量应用$\lceil 12 t^{-1} + \frac{1}{2} \rceil$次Lanczos算法，SLQ以至少$1-\eta$的概率获得与CESM的Wasserstein距离在$t \: | \lambda_{\text{max}}[\mathbf{A}] - \lambda_{\text{min}}[\mathbf{A}] |$之内的近似。我们还额外提供了该算法输出与真实CESM之间Wasserstein和Kolmogorov--Smirnov距离的（依赖于矩阵的）后验误差界。我们通过数值实验证明了我们界限的质量。