压缩感知矩阵受限等距性的确定性界

压缩感知（CS）是一个新兴领域，它能够从少量m << n个线性投影中重建一个仅有k << n个非零系数的稀疏信号$x \in {\mathbb R} ^n$。这些投影通过将$x$乘以一个矩阵$\Phi \in {\mathbb R}^{m \times n}$（称为CS矩阵）获得，其中$k < m \ll n$。在这项工作中，我们提出以下问题：给定定义CS问题规模的参数组$\{k, m, n \}$，在${\mathbb R}^{m \times n}$中最佳CS矩阵性能的确定性极限是什么？我们选择受限等距性作为性能指标。我们推导了关于${\mathbb R}^{m \times n}$中矩阵的受限等距性的两个确定性逆界和一个确定性可达界，这些界用n、m和k表示。第一个逆界（结构界）是通过利用子矩阵与完整矩阵的奇异值之间的复杂关系推导出来的。第二个逆界（堆积界）和可达界（覆盖界）是通过认识到CS矩阵与Grassmann流形上的码的等价性推导出来的。模拟表明，随机高斯$\Phi$提供的性能远非最优。这三个界的推导提供了几个新的几何见解，将最优CS矩阵与等角紧框架、Welch界、Grassmann流形上的码以及广义勾股定理（GPT）联系起来。