用于逆回归的 Gauss-Christoffel 求积：在计算机实验中的应用

充分维数缩减（SDR）为在回归问题中缩减预测空间维数提供了一个框架。我们考虑在确定性多元函数（如计算机实验中出现的函数）背景下的 SDR。在此背景下，SDR 作为一种揭示函数脊结构的方法，而 SDR 的两个主要算法——切片逆回归（SIR）和切片平均方差估计（SAVE）——通过对响应的切片映射来近似积分矩阵。我们将这种切片方法解释为对每个算法中出现的特定积分的黎曼和近似。我们采用数值分析中著名的工具——即多元张量积 Gauss-Christoffel 求积和正交多项式——来提出新算法，以改进 SIR 和 SAVE 中基于黎曼和的数值积分。由于与 Stieltjes 方法（以及 Lanczos 相关的离散化）生成关于给定测度正交的多项式序列的联系，我们将新算法称为 Lanczos-Stieltjes 逆回归（LSIR）和 Lanczos-Stieltjes 平均方差估计（LSAVE）。我们证明了基于求积的方法能近似所需的积分，并通过三个数值例子研究了 LSIR 和 LSAVE 的行为。正如高阶数值积分中所预期的，与经典 SIR 和 SAVE 的一阶收敛相比，基于求积的 LSIR 和 LSAVE 在积分近似中表现出指数收敛。LSIR 和 LSAVE 的缺点在于其底层的张量积求积受到维度灾难的影响——即求积节点数随输入空间维数呈指数增长。因此，所提出的方法最适合独立输入少于十个的确定性函数。