稀疏对称矩阵谱间隙的估计

本文提出并分析了一种用于识别实对称矩阵 $A$ 谱间隙的算法，通过同时逼近多个不同谱切片相关谱投影仪的迹。该方法利用惠康森(stochastic)迹估计器和 Lanczos 算法来逼近涉及谱投影仪的二次型。与关注确定两个特定连续特征值之间间隙不同，我们旨在找到所有超过指定阈值的间隙。通过从这个角度考察问题，并彻底分析惠康森和 Lanczos 组件，我们获得的误差界允许我们确定为确保以高概率检测所有超过目标宽度的间隙所需的惠康森样本向量数目和 Lanczos 迭代次数。特别地，我们得出结论，最有效的策略是始终为惠康森估计器使用单个随机样本向量，并将所有计算资源集中在 Lanczos 算法中。我们的数值实验表明，这种方法的效率和可靠性。