混合化间断 Galerkin 离散化的 Schwarz 方法分析

Schwarz 方法是求解偏微分方程离散化所得到的大规模线性系统的极具吸引力的并行求解器。对于混合化间断 Galerkin (HDG) 方法，这是一个相对较新的研究领域，因为 HDG 方法使用 Robin 条件来施加跨单元的连续性，而经典 Schwarz 求解器使用 Dirichlet 传输条件。在优化 Schwarz 方法中使用 Robin 条件是为了比经典 Schwarz 方法获得更快的收敛速度，并且当 Robin 参数选择得当时，甚至在无重叠区域的情况下也能实现这一点。本文针对混合化内部惩罚 (IPH) 方法的具体情况，给出了 Schwarz 方法的严格收敛性分析。我们证明，IPH 收敛所需的惩罚参数会导致经典加性 Schwarz 方法收敛缓慢，并提出了一种改进的求解器，能够实现更快的收敛。我们的分析完全在离散层面上进行，因此适用于两个子区域之间的任意界面。然后，我们将该方法推广到包含交叉点在内的多子区域情况，并获得了一类新的 Krylov 子空间方法预条件子，其收敛性能优于经典的加性 Schwarz 预条件子。我们通过数值实验验证了所得结果。