对数加权求积域的分析

本文研究关于奇异权函数 $\rho_0(w)=|w|^{-2}$ 满足求积恒等式的平面域。这些域被称为对数加权求积域（LQD）。在 $w=0$ 处的对数奇异性导致了经典理论中不存在的现象：特别地，当域包含原点时，相关的求积数据不再唯一，而是仅由 $0$ 处的一个点电荷确定。建立了LQD的广义Schwarz函数刻画，以及在奇异设定下逆问题的自然表述。在单连通情形下，证明了域是LQD当且仅当其Riemann映射的外因子扩展为有理函数的指数。这一刻画通过Faber变换给出了联系求积函数和Riemann映射的显式公式，从而将早期非奇异理论中的公式进行了推广。还涵盖了几个基本的LQD类别，并计算了显式例子。