有限群切博塔廖夫不变量的一个上界

有限群 $G$ 的一个子集 $\{g_1, \ldots , g_d\}$ 若对每一组 $x_i \in G$ 的选取，集合 $\{g_1^{x_1}, \ldots, g_d^{x_d}\}$ 都生成 $G$，则称其不变地生成 $G$。$G$ 的切博塔廖夫不变量 $C(G)$ 是随机变量 $n$ 的期望值，其中 $n$ 是满足如下要求的最小值：$G$ 中随机选取的 $n$ 个元素不变地生成 $G$。第一作者最近证明了存在某个绝对常数 $\beta$ 使得 $C(G)\le \beta\sqrt{|G|}$。本文中我们证明，当 $G$ 为可解群时，$\beta$ 至多为 $5/3$。我们还证明了这是最佳可能的。此外，我们证明一般地，对每一个 $\epsilon>0$，存在常数 $c_{\epsilon}$ 使得 $C(G)\le (1+\epsilon)\sqrt{|G|}+c_{\epsilon}$。